Nombre d'or

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Du fait d’un livre, nous sommes actuellement assez branchés sur le nombre d’or et la suite de Fibonacci, en nous émerveillant sur leur réalité mathématique et leurs (supposés ou non) prolongements qu’on en trouve dans la nature, l’architecture, la vie quotidienne…

Pour faire court, le nombre d’or est une proportion qui définit le rapport entre deux segments : a et b, a étant le plus grand. Si (a+b)/a = a/b, alors a/b est le nombre d’or. Vous n’avez rien compris, cela n’est pas grave ! Ce nombre d’or est égal approximativement à 1,618 033 988 7 pour s’arrêter à dix décimales, mais ça continue en réalité indéfiniment. Ce nombre se retrouve dans la nature (dans les capitules du tournesol), dans l’architecture (Le Corbusier) ou dans la vie quotidienne (le rapport entre la longueur et la largeur de nos cartes de banque)… Certains y voient une clé explicative du monde, mais ça, c’est une autre histoire.

Le nombre d’or est fortement lié à la suite de Fibonacci dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, etc. Plus on avance dans la suite, plus le rapport entre deux nombres qui se suivent est proche du nombre d’or. La suite a elle-même des tas de propriétés intéressantes et permet notamment de dessiner des spirales d’or, comme le montre le monument photographié ci-dessus, situé à La Panne.

Dans les discussions que nous avons eues à partir de tout cela, une bête question a surgi, mais qui paraissait une bonne question au départ : y a-t-il dans la suite de Fibonacci plus de nombres pairs que de nombres impairs ? Sur la base du début de la suite repris ci-dessus, il y a 4 nombres pairs (0, 2, 8, 34) pour 5 nombres impairs (1, 3, 5, 13, 21). Si on prend le nombre suivant (55), on aura 4 nombres pairs pour 6 nombres impairs. Et ainsi de suite. Il y aurait donc toujours plus de nombres impairs. En apparence du moins.

En effet, il est évident que la suite de Fibonacci est infinie : on peut toujours additionner les deux derniers termes pour en obtenir un plus grand. Ce qui fait qu’au bout du compte, il y a aussi une infinité de nombres pairs dans la suite tout comme il y a une infinité de nombres impairs. En d’autres termes, il y a dans la suite autant de nombres pairs que de nombres impairs, à savoir l’infini. Plus intéressant encore, il y a autant de nombres pairs dans la suite que de nombres « tout court ». Une partie du tout est donc égale au tout ! Selon Richard Dedekind, ce paradoxe définit d’ailleurs l’infini : un ensemble infini se caractérise par l'équivalence entre le dit ensemble infini et une de ses parties propres de ce point de vue.

N’est-ce pas merveilleux ? Confucius a dit une sentence importante : « Le tout est plus grand que la somme des parties ». Cette affirmation est lourde de sens, notamment en pédagogie dans le cadre de ce qu’on appelle l’approche par compétences. La compétence est en effet plus grande que la somme de tous les savoirs et/ou savoir-faire qui sont nécessaires pour la concrétiser. Voici que je découvre (enfin, je ne fais que l’apprendre… d’autres l’ont découvert avant moi) qu’à l’infini, chacune des parties est égale au tout ! Il y a de quoi s’y perdre !